怎樣讀數理邏輯的教科書——我的體會 by 賽義甫 (寫得不錯的部落格)

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怎樣讀數理邏輯的教科書——我的體會

賽義甫 2016-12-17 07:09:51

這幾年來讀了些數理邏輯的教科書，大部分是英文的，少數中文的。總的感覺是英文書比中文書好讀。為什麼？

第一，英文書選擇餘地比較大，從非常初級的到最前沿的各種版本應有盡有，可根據自己的水平、愛好自由選擇，而中文的選擇餘地就比較小，國外翻譯版的大多是高端書籍，國人自己寫的大部分也是國外教科書的中文重寫版。少數中文版比較中意的例如王憲均的《數理邏輯引論》概念和技術細節交代的非常清楚，但缺少宏觀視野，更像是技術手冊。

第二，公平地說，國內數學教育或者說國內學生的平均數學素養要高於國外，加上國內的數學教育傳統有著前蘇聯深深的烙印，數學教科書總的感覺是嚴謹有餘，人性化不足。而歐美教科書則各異。這一點也反映在數理邏輯的教科書編寫上。例如，數理邏輯的大家Kleene曾經寫過一本著名的《Introduction to Meta-mathematics》，涉及了數理邏輯的方方面面，至今仍然是數理邏輯教科書中最具權威的版本之一，但由於起點過高，抱怨不少，作者後來又專門為初學者寫了另一本書《Mathematical Logic》，同樣的故事在Carnap、Tarski也發生過，這些大家都寫過面向初學者的數理邏輯課本，有興趣者請參看【名師名著】欄目中的書單。這樣的高低搭配使得各種不同水平的人各得其所，不必因教材水平產生消極情緒；在這方面國內教材或者有限翻譯的國外教材是無論如何也無法企及的。

第三，英語教材中的行文比漢語要口語化，這可能因為邏輯是西方文化的本地產物，因此教科書的語言和日常用語的差別不大，而對中文來講，邏輯學中的大部分概念都是舶來品，沒有本地根基，所以翻譯很困難，必須要生造許多專用詞彙，因此讀起來就成了“天書”，除非你有考試升學的壓力否則很難有耐心在沒有任何動力的情況下一讀到底。

第四，對邏輯學的看法國內外差異很大。例如一些基本名詞，數理邏輯、符號邏輯、形式邏輯、邏輯學等，到底是什麼國內的定義就非常混亂，由於第三點談到的術語問題，使人覺得數理邏輯比其它邏輯更“高大上”，更尖端，因為數理邏輯中充斥著除了一些數學名詞之外還有許多令人似懂非懂的其它概念，有些人知其然不知其所以然。至於數理邏輯和數學基礎、數學哲學（或稱數理哲學）以及所謂“元數學”是什麼關係更是莫衷一是。

第五，國內大部分讀者接觸數理邏輯其實大多是從所謂“離散數學”開始的。離散數學中關於一階邏輯、集合、關係和函數的課程對計算機專業的人來說是必修課，但是離散數學本身是一個什錦大盤餐，基本上除了數學主流學科的分析、幾何、代數以外的所有科目都可算作是離散數學，我大致調查了一下，大約有40多個科目，其中真正和數理邏輯有關的只佔很少部分。因此，可以說，國內學生接觸到的數理邏輯內容，除非個人對此道特別有興趣很少超出離散數學的範圍，當然數學專業可能例外。身是一個什錦大盤餐，基本上除了數學主流學科的分析、幾何、代數以外的所有科目都可算作是離散數學，我大致調查了一下，大約有40多個科目，其中真正和數理邏輯有關的只佔很少部分。

因此，可以說，國內學生接觸到的數理邏輯內容，除非個人對此道特別有興趣很少超出離散數學的範圍，當然數學專業可能例外。身是一個什錦大盤餐，基本上除了數學主流學科的分析、幾何、代數以外的所有科目都可算作是離散數學，我大致調查了一下，大約有40多個科目，其中真正和數理邏輯有關的只佔很少部分。

因此，可以說，國內學生接觸到的數理邏輯內容，除非個人對此道特別有興趣很少超出離散數學的範圍，當然數學專業可能例外。

另外一個問題就是，我們為什麼要學習數理邏輯？如果不是升學考試等外在因素，有多少人會學習這個？搞計算機的可能會有更強的動機，因為許多計算機科學的理論問題實質上就是邏輯問題或者邏輯與計算的接口問題。我個人學習的動力來自於對語言學的研究，希望利用邏輯這一“普遍語言”（萊布尼茲語）為語言學研究找到堅實的形式化基礎和描述工具。但是數理邏輯最有魅力的地方，不在這些，而在哲學，在數學基礎論，在它與計算模型的關係。這些好像除了個別專業外在國內很少看到有專門的教科書，我看到的有戴均的《數學原理》（第一卷），其中涉及到許多一般離散數學教科書很少出現的內容。

不過這本書談不上是教科書，只能叫做“專著”，或者一家之言。另外一本更像教科書的是汪芳庭編著的《數學基礎》。但其中有關邏輯部分只佔很小一部分，好像還沒有數學分析或者代數教科書中占得比例高。個人感覺，拋開升學考研等功利因素和專業原因，數理邏輯的學習實際上是在學習建立理論的方法。因為在數理邏輯中，理論、語言、定義、定理、推導、證明等都有嚴格的形式化定義。

例如“理論”（theory），是指一個由斷言（assertion）也就是命題（公理、定義、定理的總稱）通過演繹推理規則形成的系統；而語言則是一個形式系統，由句法和語義和基本元素構成。在數理邏輯的學習過程中逐漸培養自己建立、評估形式化體系的能力，這個能力，在我看來，是從事任何嚴肅科學研究必不可少的基本素養，而不僅僅是數學專業的專利。

第三個問題是如何看待數理邏輯？它和其它邏輯學是什麼關係？國內許多人都在強調數理邏輯的特殊性，認為數理邏輯和“其它”邏輯學研究對像不同，因為數理邏輯是數學的分支，而其它邏輯不是。對此問題我的看法是，邏輯學是一個整體[1]，從2000年前亞里士多德的三段論邏輯開始，經過Stoic學派到弗雷格、羅素、哥德爾，邏輯學的傳統從未中斷過，無論你是人文科學學習的“普通邏輯”、還是計算機專業的“離散數學”，或者哲學系、數學系的數理邏輯專業，命題邏輯、謂詞邏輯都是必修課，沒有本質的不同。許多邏輯學大師更傾向於用“符號邏輯”來表示近現代的邏輯學，因為這更能體現這種邏輯和亞氏邏輯的最根本區別。這種邏輯和傳統邏輯最主要區別有3個方面：

1.內容的擴大，特別是關係概念的發明和引入和函數的使用，打破了命題只能是由主詞和謂詞構成這一限制，使得邏輯學處理的命題形式更加多樣，這是邏輯學自亞里士多德2000多年以來最革命性的發展，自弗雷格起，邏輯成為“真值函數式”（truth-functional）邏輯，函數和關係成為邏輯學中最基本的概念。這使得數學進入邏輯，可以用一種統一的方法和工具描述邏輯的形式側面。

2.對量詞的系統化處理，可以處理包含多個量詞的命題。

3.邏輯學研究目標的擴大；以前的邏輯學以研究推理、論證為目的，從一個命題如何推理出另一個命題，而近代符號邏輯則賦予了更大的使命：作為研究數學基礎的形式化語言進而使數學理論可以統一形式化為一階邏輯語言。

只有當“符號邏輯”賦予了這第3項使命時才稱作“數理邏輯”，因為這是在用邏輯的語言、邏輯的方法研究數學，以集合作為基本詞彙、以一階邏輯語言作為公理化演繹的表述形式對數學知識全面形式化。
數理邏輯在1930年代經過了哥德爾革命之後雖然放棄了以邏輯統一整個數學理論的宏大願望，但是許多學者仍然想在某個局部實現這個理想，另外一些學者則開始關注萊布尼茲第二問題：判定性問題，並由此催生了理論計算機科學的誕生，成就了20世紀末21世紀初的信息革命。

作為學習者，尤其是初學者，不必拘泥於名詞上的區別，無論是普通邏輯、形式邏輯、符號邏輯還是數理邏輯其基礎是相同的，只是處理方法、表述手段和內容覆蓋上有所差異，但絕不是橘子與蘋果的不同。如果說不同，毋寧說是學習目標的不同，普通邏輯或邏輯學的目標是建立邏輯化的推理能力，提高分析話語、文本內容的能力，提高論辯的能力，說話寫文章更加有條理。而符號邏輯、或者數理邏輯，則是以理解形式化語言、形式化系統、形式化科學研究為目的，強調的是對數學理論統一性的認識。當然，數理邏輯本身包含了許多分支、如模型論、證明論、遞歸論和集合論以及基於直覺邏輯的建構主義數學方法，這些都可以當做獨立的學科去學習，而且這些學科又是許多其他學科的理論基礎和發源地。

例如學習計算機科學，大概對這四論都應當有所了解，特別是證明論和遞歸論，更是當代計算理論，包括計算複雜性和可計算性的基礎。而數學專業的在學習了分析、幾何拓撲、代數等基礎之後，可以以數理邏輯的方法統一所有的數學知識。而語言學，特別是現代形式語法理論也是以數理邏輯為理論基礎和創新靈感的。例如，生成語法的規則係統，來自於Post的產生式推理的證明論和遞歸論研究，Montague語義論直接來自於模型論。卡爾納普在《Introduction to Symbolic Logic and its Applications》中列舉了數理邏輯在算術公理化、物理學和生物學中的應用，可以說是前無古人後無來者。

當然，作為學習者，每個人境況不同，學習動機和目的不盡相同。如果你只是對這門學問好奇，想多了解一些知識，可以多讀些有關邏輯史方面的著作；反之，如果你是認真嚴肅、對自己有長期承諾的學習者，那麼就應當腳踏實地，文科從普通邏輯、理工科從離散數學開始，一步一個腳印地系統學習。當然，數理邏輯和相應的數學緊密相關，你不可能指望對數學無知的情況下讀懂數理邏輯的教科書，你可以從高中數學程度起步，但是學到一定程度以後，制約你前行的就是你的數學素養，畢竟數理邏輯就是應用符號邏輯對數學的研究，它的目的是使學數學的人將知識由厚變薄的助推器。

以上為一家之言，僅供參考。

[1]為我這個觀點提供支持的是《Logic: Techniques of Formal Reasoning》(作者是Donald Kalish, Richard Montague和Gary Mar)。他們在該書第一版序言中寫道：
“邏輯”、“形式邏輯”、“符號邏輯”和“數理邏輯”，這些詞語在意義上是同義詞，都是指創建於亞里士多德、擴展於斯多葛學派(Stoics)、深入研究於經院哲學學派、發展於萊布尼茨，最後定型於19世紀末的現代形式的同一門學科。……在當代，邏輯學是哲學和數學的分支。

原文：
The expressions 'logic', 'formal logic', 'symbolic logic', and 'mathematical logic' are in the acceptation synonyms. They refer to a discipline created by Aristotle, extended by Stoics, studied by the Scholastics, developed in the esoteric writings of Leibniz, and sent on its modern career in the nineteenth century. ... Presently logic is cultivated as a branch of both philosophy and mathematics.

這里之所以強調這一點就是要打破數理邏輯神秘論、難學論。其實只要是高中畢業或本科畢業無論誰都已經掌握了相當多的“未明確的”邏輯知識，包括簡單的集合知識、通過初等幾何學到的形式證明知識、普通邏輯知識。如果你是計算機相關專業的，那你的邏輯知識更是無所不在。所以數理邏輯絕對不是什麼高不可攀的東西，其背後的基本思想非常簡單，之所以看上去難懂，

第一、一大堆符號，甚至比數學的符號還多，而且每本書的符號還不統一；

第二、中文術語晦澀、生僻，教科書中的語言和我們日常使用的語言差距太大，甚是難懂。雪上加霜的是，國內的翻譯版大多中文素養不高，許多句子無論語法還是語義似是而非，令人既不能完全明白也不是一點不懂，雲山霧罩；

第三、書中內容大都寫的像計算機程序：導言、定義、說明、定理、證明、例示、練習，固定而刻板，令人反感；

第四、最重要的是，讓普通人可以接受的、對讀者友好的教科書還沒有誕生。

= = = = = = = = = = = = = = (同場加映)

以下是介紹如何思考的一篇文章。

https://thiseven.blogspot.com/2015/06/blog-post_10.html

[貝剛毅] 思方導航

by Joe 5 YEARS AGO 1

用中文寫的思方書不多，寫得好的更是少之又少。
貝剛毅的《思方導航》（第四版）相信是同類書籍中數一數二的導論書。

這本書優點很多，有一點特別難得：淺白之餘不失嚴謹。要寫一本淺白的思方書不難，將各類謬誤列出來，用例子講一講，通常就夠淺白。（可見我對「甚麼算是思方書」的要求相當低。）要嚴謹本身有難度，要淺白同時嚴謹，難度更上一層樓。不少坊間常見的錯誤，《思方導航》都有注意到並特意解釋。此書嚴謹，可見一斑。

僅舉一例。以下這個推論，一般會被指犯了肯定後項的謬誤：

所有科學家都是唯物主義者
馬克思是唯物主義者
所以，馬克思是科學家

不少人都誤以為用同樣形式的論證就犯了肯定後項的謬誤，但這個想法其實是錯的，作者在第192頁的註腳解釋這為何是錯的（懂一點科學哲學就更易明白）。見過錯誤定義，又明白錯在哪裡，更能欣賞他對「肯定後項的謬誤」所下的定義。

《思方導航》可挑的毛病的十分少，我挑到的都是無足輕重的瑕疵。
比如，作者規定滑坡論證的標準形式是：

1. 如果容許 A0 發生， C1 將發生

2. 如果 C1 發生， C2 將發生

3. 如果 C2 發生， C3 將發生

4. C3 是（或 C1 和 C2 同時也是）壞後果

5. 因此，不應容許 A0 發生（在頁155）

將這定為標準形式會限制滑坡論證最多只可包含三個後果（C1, C2, C3），但有些滑坡論證的後果卻不只三個，例如以下這個論證

Whatever proportions [Nazi] crimes finally assumed, it became evident to all who investigated them that they had started from small beginnings.

The beginnings at first were merely a subtle shift in emphasis in the basic attitude of the physicians. It started with the acceptance of the attitude, basic in the euthanasia movement, that there is such a thing as life not worthy to be lived. This attitude in its early stages concerned itself merely with the severely and chronically sick.

Gradually the sphere of those to be included in the category was enlarged to encompass the socially unproductive, the ideologically unwanted, the racially unwanted and finally all non-Germans.

But it is important to realize that the infinitely small wedged-in lever from which this entire trend of mind received its impetus was the attitude toward the nonrehabilitable sick.
(Leo Alexander; quoted from Peter Singer, Practical Ethics (3rd), p.187; my emphesis.)

滑坡論證（或上坡論證）的標準形式要涵蓋涉及更多後果的情形，可以改成

1. 如果容許 A0 發生， C1 將發生，繼而 C2 將發生，繼而 C3 將發生，……，
繼而 Cn 將發生。（‘C1’, ‘C2’, ...或 ‘Cn’ 可指同一件事）

2. Cn 是壞後果

3. 因此，不應容許 A0 發生

不過內文的說明已經夠清晰，這點瑕疵實在無傷大雅。

《思方導航》講訴諸人身的謬誤，我覺得特別有趣。作者特意縮窄這類謬誤，將之限制在「推論某人的言論為假的論證」。
所以，即使有人由「某甲奇醜無比」推論「某甲奇蠢無比」，由於這不是在推論某甲的言論為假，它仍不符合該書定義的訴諸人身謬誤（頁176-181）。這個做法可能是為了有更明確的定義，因為若要涵蓋上述的例子，訴諸人身謬誤就要放寬標準，連帶定義項會比較少訊息內容，例如我自己用的定義「針對個人特徵攻擊，並以此推論不相干的結論」，就沒有該書的定義明確。不過這點純屬猜測。
（我的「訴諸人身謬誤」比該書用的闊，而該書的「訴諸人身謬誤」即是我的「人身攻擊謬誤」）